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    1. 高中數學知識點

      三角函數公式大全

      來源:三角函數 | 作者:三角函數 | 本文已影響

       

          三角函數看似很多,很復雜,但只要掌握了三角函數的本質及內部規律就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯系。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在,下面是學習方法網為大家整理的三角函數公式大全

            銳角三角函數公式

        sin α=∠α的對邊 / 斜邊

        cos α=∠α的鄰邊 / 斜邊

        tan α=∠α的對邊 / ∠α的鄰邊

        cot α=∠α的鄰邊 / ∠α的對邊

        倍角公式

        Sin2A=2SinA?CosA

        Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

        tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

       。ㄗⅲ篠inA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

        三倍角公式

        sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

        cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

        tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

        三倍角公式推導

        sin3a

        =sin(2a+a)

        =sin2acosa+cos2asina

        輔助角公式

        Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

        sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

        cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

        tant=B/A

        Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

        降冪公式

        sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

        cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

        tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

        推導公式

        tanα+cotα=2/sin2α

        tanα-cotα=-2cot2α

        1+cos2α=2cos^2α

        1-cos2α=2sin^2α

        1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

        =2sina(1-sin&sup2;a)+(1-2sin&sup2;a)sina

        =3sina-4sin&sup3;a

        cos3a

        =cos(2a+a)

        =cos2acosa-sin2asina

        =(2cos&sup2;a-1)cosa-2(1-sin&sup2;a)cosa

        =4cos&sup3;a-3cosa

        sin3a=3sina-4sin&sup3;a

        =4sina(3/4-sin&sup2;a)

        =4sina[(√3/2)&sup2;-sin&sup2;a]

        =4sina(sin&sup2;60°-sin&sup2;a)

        =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

        =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

        =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

        cos3a=4cos&sup3;a-3cosa

        =4cosa(cos&sup2;a-3/4)

        =4cosa[cos&sup2;a-(√3/2)&sup2;]

        =4cosa(cos&sup2;a-cos&sup2;30°)

        =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

        =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

        =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

        =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

        =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

        =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

        上述兩式相比可得

        tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

        半角公式

        tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

        cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

        sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

        cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

        tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

      學習方法網[www.crivellaros.com]

        三角和

        sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

        cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

        tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

        兩角和差

        cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

        cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

        sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

        tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

        tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

        和差化積

        sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

        sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

        cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

        cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

        tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

        tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

        積化和差

        sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

        cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

        sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

        cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

        誘導公式

        sin(-α) = -sinα

        cos(-α) = cosα

        tan (—a)=-tanα

        sin(π/2-α) = cosα

        cos(π/2-α) = sinα

        sin(π/2+α) = cosα

        cos(π/2+α) = -sinα

        sin(π-α) = sinα

        cos(π-α) = -cosα

        sin(π+α) = -sinα

        cos(π+α) = -cosα

        tanA= sinA/cosA

        tan(π/2+α)=-cotα

        tan(π/2-α)=cotα

        tan(π-α)=-tanα

        tan(π+α)=tanα

        誘導公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限

        萬能公式

        sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

        cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

        tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]

        其它公式

        (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

        (2)1+(tanα)^2=(secα)^2

        (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

        證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

        (4)對于任意非直角三角形,總有

        tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

        證:

        A+B=π-C

        tan(A+B)=tan(π-C)

        (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

        整理可得

        tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

        得證

        同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關系式也成立

        由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論

        (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

        (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

        (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

        (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

        (9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

        cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

        sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

        tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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